UNIDAD DIDÁCTICA 1
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Introducción: Existen varias clases
de ecuaciones, pero en este trabajo nos vamos a enfocar en las ecuaciones de
primer grado con una incógnita; específicamente las enteras con signo de
agrupación y productos indicados, pero es necesario explicar en qué consiste
una ecuación. En esta unidad didáctica se introducen los conceptos
de ecuación e identidad, centrándose en la resolución de la ecuación de primer
grado con una incógnita.
Objetivo de la unidad
didáctica I:
- Reconocer ecuaciones e identidades y saber distinguir unas de otras.
- Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en con productos indicados y con signos de agrupación
- Aplicar los métodos de resolución anterior a problemas prácticos.
Igualdad.
Es una
expresión algebraica en la que los dos miembros tienen el mismo valor.
Por ejm: 3x+5=17 2p+3q=7
Ecuación.
Es una
igualdad en la que hay cantidades llamadas incógnitas, representadas
generalmente por las últimas letras del alfabeto y cantidades constantes o
conocidas.
Por ejemplo: 5x-16=24
Entonces: x = 8
Si reemplazamos
este valor de (x) en la ecuación original tenemos lo siguiente: 5(8)-16=24 ósea:
24=24
Por lo tanto
es una ecuación porque tiene una incógnita (x), y es una igualdad por que se
comprueba que: 24=24.
Identidad.
Es una igualdad que es verdadera
para cualquier valor de las letras, por ejemplo:
(2x+3y)2= 4x2 +12xy+9y2
como se trata de una identidad se la
escribiría así:
(2x+3y)2= 4x2 +12xy+9y2
Que se leería:
(2x+3y)2 identico a: 4x2 +12xy+9y2
Miembros de una Ecuación.
Una ecuación tiene dos miembros, uno a la izquierda del signo igual,
donde van las incógnitas y el otro miembro a la derecha del signo igual, donde
van las constantes o valores conocidos.
Por ejemplo: 5x-7=3-2x.
En donde: 5x-7,
es el primer miembro, y: 3-2x es el segundo miembro.
Transposición de términos
Un término o un factor puede ir de un miembro a otro cambiando de
operación, teniendo en cuenta de que si se trata de una ecuación todas las incógnitas
quedaran en el primer miembro.
Proceso para resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.
- Realizar operaciones si hubieran.
- Realizamos la transposición de términos.
- Reducimos los términos semejantes.
- Se encuentra el valor de la incógnita.
Resolución de ecuaciones
Resolución de problemas de aplicación de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
Resolver la
ecuación: 16x-7+3x-15+x=5x+2+9x+6.
Realizamos
la transposición de términos: 16x+3x+x-5x-9x=2+6+7+15.
Reducimos
términos semejantes: 6x=30.
Despejamos
la incógnita: x=5
Ecuaciones de primer grado con signos de agrupación.
Resolución de problemas de aplicación de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
UNIDAD DIDÁCTICA 2
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
Introducción: Revisaremos los cinco métodos conocidos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, y son: De Igualación, De Sustitución, De Reducción, De Determinantes, y Grafico.
Objetivo de la unidad didáctica II:
5. Los dos valores obtenidos constituyen la
solución del sistema
Este método tiene como objetivo encontrar la solución a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y esta solución se da en la intersección de las dos rectas, este punto de intersección lo proyectamos al eje de las abcisas y encontramos el valor de x, y hacemos también la proyección al eje de las ordenadas y así encontramos el valor de y, este par de valores constituye el conjunto solución del sistema de ecuaciones.
Introducción: Revisaremos los cinco métodos conocidos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, y son: De Igualación, De Sustitución, De Reducción, De Determinantes, y Grafico.
Objetivo de la unidad didáctica II:
- Aplicar cada método correctamente.
- Resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
- Aplicar los métodos de resolución anterior a problemas prácticos.
Ecuaciones simultáneas.
Toman este nombre cuando las ecuaciones del sistema
se satisfacen para los valores de las incógnitas.
Por ejm: 3x+5y=11
2x+3y= 7
Las dos ecuaciones se satisfacen para: x=2 e y=1,
por lo tanto son ecuaciones simultaneas.
Ecuaciones equivalentes.
Son ecuaciones que si a una de ellas le sumamos o
le restamos una cantidad o la multiplicamos o dividimos para una determinada
cantidad, se obtiene la otra ecuación. Estas ecuaciones tienen infinitas
soluciones comunes.
Por ejemplo: 3x+ 5y = 11
15x+25y
= 55
Nos damos cuenta que la segunda ecuación se la
obtuvo multiplicando la primera por 5
Ecuaciones
independientes.
Estas ecuaciones no se obtienen la una de la otra, y cuando tienen
una solución común son simultáneas. Por ej:
x+
5y = 6
5x+2y
=7
Estas ecuaciones
son independientes ya que ninguna de las
dos se ha generado de la otra, y además son simultaneas por que el valor de
“x=1” e “y=1”, son los únicos que satisfacen el sistema.
Ecuaciones incompatibles.
Estas ecuaciones son independientes
y no tienen una solución común y son incompatibles
porque no hay valor que compruebe o verifique a las dos ecuaciones.
Por ejemplo: 3x +
5y=8
9x+15y=2
No tienen soluciones comunes, por lo tanto son incompatibles.
Sistema de ecuaciones.
Es el conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.
En nuestro caso trataremos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS.
Los métodos para resolver este tipo de sistemas son los siguientes:
Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar
una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos
despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del
proceso son las siguientes:
- Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
- Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta
- Se calcula el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor de la encontrada sea x o y en una de las ecuaciones despejadas del primer paso.
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra
ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que
aparecía la incógnita despejada.
Este método tiene como objetivo encontrar la solución a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y esta solución se da en la intersección de las dos rectas, este punto de intersección lo proyectamos al eje de las abcisas y encontramos el valor de x, y hacemos también la proyección al eje de las ordenadas y así encontramos el valor de y, este par de valores constituye el conjunto solución del sistema de ecuaciones.
UNIDAD DIDÁCTICA 3
ECUACIÓN DE LA RECTA
Introducción: Bien, una recta es aquello que
entendemos como el ente ideal que se
extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos. De forma más
sencilla, podemos describir la recta como: la sucesión continua e indefinida de
puntos en una sola dimensión, no posee principio ni fin.
Teniendo en cuenta que los puntos están alineados, podemos encontrar la recta mediante dos puntos, considerando esta idea de lo que es una recta, plantearemos cuatro formas de encontrar la ecuación de la recta y su pendiente, para luego en otro capítulo poder realizar las aplicaciones necesarias.
Teniendo en cuenta que los puntos están alineados, podemos encontrar la recta mediante dos puntos, considerando esta idea de lo que es una recta, plantearemos cuatro formas de encontrar la ecuación de la recta y su pendiente, para luego en otro capítulo poder realizar las aplicaciones necesarias.
Objetivo de la unidad
didáctica III:
- Calcular la pendiente de la recta, con las respectivas formulas y luego efectuar su aplicación.
- Encontrar la ecuación de la recta en sus diversas formas.
- Aplicar los métodos de resolución anterior a problemas prácticos.
FUNCIONES Y GRÁFICAS
Introducción:
Existen varias aplicaciones al relacionar variables entre sí, podríamos con la
representación gráfica de las misma interpretar situaciones, fenómenos o hechos
de carácter económico, social o natural
a nivel general.
Una de las prioridades que se pretende atender en este documento, es el
tratamiento del sustento teórico científico de las funciones, el conocimiento
de sus distintas tipologías y el abordaje gráfico de cada una de ellas, del
mismo modo, la operatividad que se pueda determinar con el andamiaje de las
características en resoluciones de problemas propuestos entre funciones.
Objetivo de la unidad
didáctica IV:
- Definir y diferenciar las tipologías de las funciones.
- Desarrollar ejercicios de cada tipo analizando las gráficas respectivas.
- Identificar las diferentes relaciones entre funciones
- Comprender lo que es llevar a una función al límite, caracterizando los algoritmos de resolución a problemas propuestos.
Desarrollo de
contenidos:
Función.
Una función es la relación que existe entre dos
variables, la independiente o “x” y la dependiente o “y”.
Para
entender su comportamiento hemos de recurrir a su gráfica desarrollada en los
ejes cartesianos x (abscisas) e y (ordenadas).
Las
funciones se pueden presentar mediante gráficas, enunciados, tablas o
formulación analítica o fórmula.
Tipos de funciones.
Función lineal.
UNIDAD DIDÁCTICA 5
MATRICES
El orden viene definido
por el producto entre el número de filas y el número de columnas.
Introducción:
El análisis de datos de un fenómeno o el comportamiento de
variables de una misma especie, o que pertenecen a un mismo conjunto se lo
puede subdividir en subconjuntos pequeños dadas las particularidades
individuales o características de los datos. Estos son recopilados con el
objeto de construir modelos matemáticos de una manera sencilla, para alcanzar
este cometido se hará un barrido general cobre conceptualizaciones matriciales
y sus operaciones aplicadas en la resolución de problemáticas propuestas para
el abordaje de la información.
Esta
unidad pretende consolidar el sustento teórico científico a nivel general y sus
singularidades con matrices cuadradas, lo que nos basta para evidenciar
procesos de resolución a través de algoritmos sencillos con una práctica
dirigida y sustentada por la formulación respectiva.
Objetivo de la unidad
didáctica V:
- Comprender el sustento teórico científico de las matrices mediante sus tipos y operaciones entre ellas.
- Desarrollar ejercicios con operaciones matriciales sencillas.
- Identificar la tipología matricial y sus aplicaciones en la vida práctica.
- Resolver sistemas de ecuaciones aplicando criterios de matrices en problemas propuestos.
Desarrollo de
contenidos:
Matrices.
Se las puede
definir como un arreglo de elementos en filas y columnas, los mismos que se
encuentra encerrados entre corchetes o paréntesis. Los elementos para nuestro
caso serán los números reales.
Orden de una Matriz.
Elementos de una matriz.
Los
elementos dentro de una matriz vienen diferenciados por un subíndice en el que
se coloca una numeración que corresponde al número de fila (i) y al número de
columnas (j). Los elementos se denotan
, así: aij
Operaciones entre matrices.
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